解释什么是时间序列中的平稳性(Stationarity)，以及为什么它重要?

平稳性定义

平稳性是指时间序列的统计特性不随时间变化。

严格平稳 (Strict Stationarity)

所有阶的联合分布不随时间平移而改变。

• 过于严格，实际中很少使用

弱平稳/协方差平稳 (Weak/Covariance Stationarity)

1. E[X_t] = μ (均值恒定)
2. Var(X_t) = σ² (方差恒定)
3. Cov(X_t, X_{t+k}) = γ(k) (自协方差只依赖于滞后期k)

为什么平稳性重要?

1. 统计推断的有效性

非平稳序列问题:

• 均值和方差随时间变化
• 无法用历史数据推断未来
• 标准假设检验失效

2. 避免伪回归(Spurious Regression)

问题: 两个独立的非平稳序列可能显示高度相关

例: GDP和冰淇淋销量都上升
    不意味着因果关系
    只是都有时间趋势

3. 模型适用性

ARMA模型要求:

• 需要平稳序列
• 非平稳数据需要先转换

检验平稳性的方法

1. ADF检验 (Augmented Dickey-Fuller)

from statsmodels.tsa.stattools import adfuller

result = adfuller(series)
print(f'ADF Statistic: {result[0]}')
print(f'p-value: {result[1]}')

# p-value < 0.05 → 拒绝存在单位根 → 平稳

假设检验:

• H0: 存在单位根(非平稳)
• H1: 不存在单位根(平稳)

2. KPSS检验

假设检验:

• H0: 平稳
• H1: 非平稳

与ADF互补使用

3. 图形检验

• 时序图: 观察趋势和周期
• ACF图: 平稳序列ACF快速衰减

处理非平稳性

1. 差分 (Differencing)

Y_t = X_t - X_{t-1}  (一阶差分)

股票: 使用收益率而非价格

2. 对数变换

Y_t = log(X_t)

稳定方差

3. 去趋势 (Detrending)

Y_t = X_t - Trend_t

移除确定性趋势

4. 协整 (Cointegration)

如果两个非平稳序列存在协整关系
它们的线性组合是平稳的
可以用于配对交易

金融应用

1. 收益率 vs 价格

• 股票价格: 非平稳(随机游走)
• 收益率: 通常平稳

2. 配对交易

• 寻找协整的股票对
• 交易价差回归

3. 风险建模

• VaR计算假设收益平稳
• GARCH模型允许条件异方差

Python实践

import pandas as pd
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller, kpss

def check_stationarity(series):
    # ADF检验
    adf_result = adfuller(series)
    print(f'ADF p-value: {adf_result[1]:.4f}')

    # KPSS检验
    kpss_result = kpss(series)
    print(f'KPSS p-value: {kpss_result[1]:.4f}')

    # 判断
    if adf_result[1] < 0.05 and kpss_result[1] > 0.05:
        print('序列平稳')
    else:
        print('序列非平稳，需要处理')