解释蒙特卡洛模拟在衍生品定价中的应用，以及方差缩减技术。

蒙特卡洛方法基础

核心思想

通过大量随机模拟来估计期望值: E[f(X)] ≈ (1/N) Σ f(X_i)

期权定价应用

C = e^(-rT) E^Q[max(S_T - K, 0)]

通过模拟S_T的分布，计算payoff的期望值

基本实施步骤

1. 模拟路径

几何布朗运动: S_T = S_0 exp[(r - σ²/2)T + σ√T × Z]

其中Z ~ N(0,1)

2. 计算Payoff

对每条路径计算期权payoff

3. 折现求均值

C = e^(-rT) × mean(payoffs)

误差分析

标准误差

SE = σ / √N

其中σ是payoff的标准差

收敛速度

• O(1/√N)收敛
• 精度翻倍需要4倍模拟次数

方差缩减技术

1. 对偶变量法 (Antithetic Variates)

原理: 使用Z和-Z配对模拟

估计量: Ĉ = (1/2)(C(Z) + C(-Z))

效果: 方差可降低50%+

2. 控制变量法 (Co...